sinh(x)/xの2階微分のx→0の極限の導き方

sinh(x)/xの2階微分のx→0の極限を求める問題は、数学の微積分の基礎に関わる問題です。この問題に取り組むためには、関数の定義や極限、微分の概念をしっかりと理解する必要があります。この記事では、その解法をステップごとに解説します。

1. sinh(x)/xの定義と微分

sinh(x)は、双曲線関数で、定義は次の通りです：sinh(x) = (e^x – e^(-x)) / 2。したがって、関数f(x) = sinh(x)/xは、x ≠ 0のときに有効です。まず、この関数の2階微分を求めますが、x = 0での挙動を確認することが重要です。

2. x→0での極限の問題設定

問題は、sinh(x)/xの2階微分をx→0で計算することです。まず、sinh(x)/xという関数のx→0での極限を求めますが、直接計算すると0/0の不定形になるため、l’Hopitalの定理を使って解決します。

3. l’Hopitalの定理の適用

l’Hopitalの定理を用いて、sinh(x)/xのx→0での極限を求めるためには、まず1階の微分を取ります。sinh(x)の微分はcosh(x)で、xの微分は1です。したがって、f'(x) = cosh(x)/1 = cosh(x)となります。この時点で、x = 0を代入すると、cosh(0) = 1となるので、f'(x)の極限は1です。

4. 2階微分の計算と結果

次に、2階微分を求めます。f”(x)を求めると、cosh(x)の微分はsinh(x)となります。したがって、f”(x) = sinh(x)。この関数をx = 0で計算すると、sinh(0) = 0となります。

5. 結果としての極限

よって、sinh(x)/xの2階微分をx→0で計算した結果、極限は0となります。この計算過程を通じて、l’Hopitalの定理を使うことで、複雑な極限の問題を解く方法がわかります。

まとめ

sinh(x)/xの2階微分のx→0の極限は0であることがわかりました。l’Hopitalの定理を使い、関数の微分を適用することで、極限を簡単に求めることができました。このような問題は微積分の基礎的な演習として非常に有用です。