y=-x(x-n)のグラフとx軸との囲まれる面積を求める方法

高校数学でよく登場する、二次関数のグラフとx軸に囲まれた面積について考えてみましょう。特に、y = -x(x – n)という式において、グラフとx軸との間に囲まれる面積を求める方法を解説します。今回は、nを整数とした場合に焦点を当てます。

関数y=-x(x-n)のグラフの基本形

まず、関数y=-x(x-n)を展開すると、y=-x^2 + nx となります。この関数は二次関数の一種で、a=-1、b=n、c=0 という形です。二次関数のグラフは、放物線の形をしており、aが負なので上に凸の放物線となります。

また、このグラフはx軸と交点を持つことがわかります。交点は、y=0の時のxの値を求めることで求められます。

x軸との交点を求める

関数y=-x(x-n)がx軸と交わる点を求めるために、y=0とおいて解きます。すなわち、0 = -x(x – n) となり、両辺をxで割ると、x(x – n) = 0 となります。この式からx = 0 または x = n が解となります。よって、このグラフはx = 0 と x = n の間でx軸と交わります。

面積を求めるための積分

次に、x = 0 から x = n の範囲で囲まれる面積を求めるためには、積分を使います。面積は、関数y=-x(x-n)を積分することで求められます。積分式は次のようになります。

面積 = ∫[0, n] (-x^2 + nx) dx

これを計算することで、面積を求めることができます。

積分を解いて面積を求める

積分を計算してみましょう。

∫(-x^2 + nx) dx = -1/3 x^3 + n/2 x^2

この式をx = 0 から x = n まで計算すると、次のようになります。

面積 = [(-1/3 n^3 + n/2 n^2) – (0)] = -1/3 n^3 + 1/2 n^3 = (1/6 n^3)

まとめ

y = -x(x – n)のグラフとx軸との間で囲まれる面積は、積分を用いて求めることができます。最終的に求められる面積は、(1/6)n^3 となります。このように、二次関数のグラフとx軸で囲まれる面積は、積分を使って簡単に求めることができます。具体的な計算を通じて、この方法をしっかりと理解していきましょう。