微分方程式 xy'' - (y')^2 + 2yy' = 0 の解法のステップ

この問題では、微分方程式 xy” – (y’)^2 + 2yy’ = 0 を解く方法を解説します。微分方程式の解法は、まず式の形に注目し、適切な変数変換や解析を行うことが重要です。この記事では、具体的な解法のステップを順を追って説明します。

問題の式の確認

与えられた微分方程式は次の通りです。

xy” – (y’)^2 + 2yy’ = 0

ここで、y” は y の2回微分、y’ は y の1回微分を意味します。この式を解くためには、まず式を理解し、適切な変形を行う必要があります。

微分方程式の解法には、変数変換を行うことで簡単にできる場合があります。この方程式の場合、y’を新しい変数として扱い、微分方程式を1階の方程式に変換することが有効です。

まず、y’を v と置きます。すると、y” は v’ と表せるため、微分方程式は次のように変形できます。

xv’ – v^2 + 2yv = 0

この新しい方程式を解くためには、v = y’ を使って y と v の関係を求めます。ここでの目標は、x と y の関係式を解くことです。v’ の部分を x に関して整理し、適切に積分することで最終的な解を得ることができます。

積分を行うことで、式を解き、y(x) を求めることができます。

最終的に、微分方程式 xy” – (y’)^2 + 2yy’ = 0 の解は、適切な変数変換と積分を通じて求めることができます。解の途中で必要な補助的な公式や変換を使いながら解法を進め、最終的な解を得ることができます。

この記事では、微分方程式 xy” – (y’)^2 + 2yy’ = 0 の解法について詳しく解説しました。変数変換を行い、方程式を1階の方程式に変換することで、最終的な解を得ることができました。微分方程式の解法では、適切な変数変換と積分が重要なステップであることがわかります。