部分分数分解の方法とx = 1, -2, 0を代入する理由について解説

数学の問題でよく見られる部分分数分解に関する質問です。式 1/(x-1)^2(x+2) を部分分数分解し、その解法過程でx = 1, -2, 0を代入する理由について理解を深めましょう。この記事では、その手順と代入の背景を詳しく説明します。

部分分数分解とは

部分分数分解は、複雑な分数を簡単な分数の和に分ける手法です。この手法を使うことで、積分や計算が容易になることがあります。例えば、式1/(x-1)^2(x+2)を部分分数分解すると、次のような形に分解できます。

1/(x-1)^2(x+2) = A/(x-1) + B/(x-1)^2 + C/(x+2)

問題を解くためには、両辺に(x-1)^2(x+2)を掛けて、式を整理する必要があります。そうすると、次のような式が得られます。

1 = A(x-1)(x+2) + B(x+2) + C(x-1)^2

この式からA、B、Cの値を求めるためには、特定のxの値を代入して、それぞれの係数を計算する方法を使います。

代入の際にx = 1, -2, 0を使う理由は、各項の分母をゼロにして、簡単に解を求めるためです。これらの値を代入すると、各項の一部がゼロになり、計算が簡単になります。

例えば、x = 1を代入すると、B項とC項はゼロになり、Aの値が求めやすくなります。同様に、x = -2でCを求め、x = 0でBを求めます。この方法で、計算が効率的に進みます。

このように、部分分数分解を進める際には、x = 1, -2, 0などの特定の値を代入して、それぞれの係数を求めます。これらの値が式の定義域内にあっても、元の式と同じ値を持つため、代入して解く方法は妥当です。

また、同値性は式の解を求める際に重要な考え方ですが、特定の値を代入して得られる式の解は、最終的に元の式と一致するため、この方法で問題を解くことができます。

部分分数分解の問題では、代入するxの値をうまく選ぶことで計算を簡単に進めることができます。x = 1, -2, 0などの特定の値を代入することで、各項の係数を簡単に求めることができます。この方法を理解することで、部分分数分解を効率よく解くことができるようになります。