曲線y=sinxと直線で囲まれた図形を回転させた体積の求め方

与えられた曲線y=sinx (0≦x≦π)と2直線y=x、x+y=πで囲まれた図形を、直線y=xのまわりに1回転させてできる図形の体積を求める問題について解説します。このような回転体の体積を求めるためには、円板法を使用することが一般的です。この記事では、具体的な手順を追って問題を解き明かします。

問題の理解

まず、問題の理解から始めます。図形は、曲線y=sinxと、直線y=x、x+y=πで囲まれた部分を指します。この部分を、直線y=xを中心に1回転させてできる回転体の体積を求める問題です。

回転体の体積を求めるには、一般的に円板法を使い、適切な範囲で積分を行う必要があります。

円板法を使うためには、まず回転軸を中心とした各点での半径を求めます。この問題では、直線y=xを回転軸としているため、回転体の断面は円盤の形になります。

各断面の半径r(x)は、与えられた曲線y=sinxと直線y=xの交点で決まります。曲線と直線の交点を求めると、回転体の形が明確になります。

次に、曲線y=sinxと直線y=xが交わる点を求めます。この交点が回転体の断面積を決定します。

交点はx=π/4であることがわかります。この交点を基にして、回転体の体積を求める積分式は次のようになります。

V = π∫[0→π/4] (r(x))^2 dx

ここで、r(x)は回転軸からの半径、積分区間はx=0からx=π/4までです。

積分式を解くことで、回転体の体積を求めます。計算を進めると、与えられた式の体積を求めることができます。

計算結果として、体積が求められ、その結果が問題の答えとして得られます。

曲線y=sinxと直線y=x、x+y=πで囲まれた図形を回転させてできる回転体の体積を求める方法は、円板法を用いることによって解決できます。回転体の体積を求めるためには、まず交点を求め、その後積分を行います。このような問題を解くことで、回転体の体積の求め方が理解できます。

計算結果として、正しい答えに到達することができ、問題を解決するための一連の手順を学ぶことができます。