指数方程式 2^x + 4^x + 8^x = 39 の解法

指数方程式 2^x + 4^x + 8^x = 39 を解く方法を解説します。この方程式は、異なる指数を含む項があり、少し工夫が必要です。次のステップで解法を順を追って説明します。

1. 方程式の変形

まず、与えられた方程式 2^x + 4^x + 8^x = 39 を見てみましょう。4^x と 8^x はそれぞれ 2^x の累乗で表せるため、これらを同じ基数（2）に変換します。

4^x = (2^2)^x = 2^(2x) および 8^x = (2^3)^x = 2^(3x) となります。これを元の方程式に代入すると、次のように書き換えられます。

2^x + 2^(2x) + 2^(3x) = 39

ここで、代入法を使って式を簡略化します。新しい変数を導入し、2^x = y とおきます。これにより、方程式は次のように変形されます。

y + y^2 + y^3 = 39

この方程式は、y に関する三次方程式になります。

y + y^2 + y^3 = 39 の三次方程式を解くために、まずは y の値を試してみます。y = 3 を代入してみます。

3 + 3^2 + 3^3 = 3 + 9 + 27 = 39 となり、y = 3 が解であることが確認できます。

次に、y = 3 を使って x の値を求めます。元の変数に戻すために、2^x = y とおいたので、2^x = 3 となります。

これを解くために、対数を使います。x = log2(3) となります。

方程式 2^x + 4^x + 8^x = 39 を解くためには、まず 4^x と 8^x を 2^x の累乗として表し、代入法を使って三次方程式に変形しました。その結果、y = 3 という解が得られ、最終的に x = log2(3) が解となります。

この方法により、複雑な指数方程式も解くことができることがわかりました。