大学数学：積分計算の詳細解説

大学の数学における積分問題の計算過程を詳しく解説します。今回は、3つの異なる積分問題を扱います。それぞれの問題について、計算のステップを説明し、最終的な解を求めます。

問題1: ∫1→e (√log(x) + 1)/x dx の解法

まず、この積分を解くためには、適切な置換を行います。√log(x) + 1という項があるため、log(x)に注目し、次のように置換を行います。

u = log(x), du = (1/x) dx

これにより、積分は次の形になります。

∫ (√u + 1) du = ∫ √u du + ∫ 1 du

それぞれの積分を計算すると。

∫ √u du = (2/3) u^(3/2), ∫ 1 du = u

したがって、最終的な答えは。

2/3 log(x)^(3/2) + log(x) + C

次に、この積分を解きます。まず、cos^2(x)を変形して積分を簡単にします。次の式に従って、分母を処理します。

1 + cos^2(x) = 2 – sin^2(x)

これにより、積分を次の形で解くことができます。

∫ sin(x)/(2 – sin^2(x)) dx

ここで適切な置換を行うと、積分は簡単に計算できます。この問題の最終解は。

π/4

最後に、この積分を解きます。まず、積分の中にx^2があるため部分積分を使います。部分積分の公式に従い、次のように分けます。

u = x^2, dv = cos(2x) dx

これにより、積分は次の形になります。

∫ x^2 cos(2x) dx = x^2 sin(2x)/2 – ∫ 2x sin(2x)/2 dx

ここでさらに部分積分を使い、最終的に。

1/4 (π^2 – 2) と求めることができます。

今回は、3つの積分問題を解きました。各積分には異なる方法や置換を使うことで、解を導きました。数学の積分においては、適切な置換や部分積分を使うことが重要です。それぞれの問題の計算過程を理解することで、他の積分問題にも応用できるようになります。