サイコロを8回投げて4以下の数字がちょうど3回出る確率の求め方

高校数学の確率の問題において、「サイコロを8回投げて、4以下の数字がちょうど3回出る確率」を求める方法を解説します。確率を求めるには、組み合わせと確率の計算が重要です。具体的な解き方を見ていきましょう。

1. 問題の整理

サイコロの目は1, 2, 3, 4, 5, 6の6つです。この中で「4以下の数字」は1, 2, 3, 4の4つです。残りの2つ、5と6は「4より大きい数字」となります。

サイコロを8回投げて、4以下の数字がちょうど3回出る確率を求める問題です。確率の求め方は、「成功する回数」と「失敗する回数」を考える方法です。

まず、1回のサイコロの投げ方における成功確率と失敗確率を求めます。

成功確率（4以下の数字が出る確率）は、1, 2, 3, 4の4つの目が出る確率なので、成功確率は4/6 = 2/3です。

失敗確率（4より大きい数字が出る確率）は、5または6が出る確率なので、失敗確率は2/6 = 1/3です。

サイコロを8回投げる中で、4以下の数字がちょうど3回出る確率は「二項分布」を使って求めます。

二項分布の確率は、次の式で求めます：
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 – p)^(n – k)
ここで、nは試行回数（8回）、kは成功回数（3回）、pは成功確率（2/3）です。

この式に当てはめて計算を行います。

組み合わせC(n, k)は、8回の試行の中から3回成功する場合の数を求めます。C(8, 3)は、「8回中3回成功する組み合わせ」の数です。

C(8, 3) = 8! / (3!(8 – 3)!) = (8 * 7 * 6) / (3 * 2 * 1) = 56です。

したがって、確率は次のようになります。

P(X = 3) = 56 * (2/3)^3 * (1/3)^5 ≈ 0.254

サイコロを8回投げて4以下の数字がちょうど3回出る確率は約0.254です。計算方法は、成功確率、失敗確率を求め、二項分布の公式を使用して計算します。この方法を使えば、複雑な確率の問題でも解くことができます。