今回は、次の定積分の計算方法について解説します。
∫₀^{π/2} 1 / (3 cos x + 4 sin x) dx
1. 問題の理解
問題文で示されている定積分は、三角関数を含んでいます。このような問題では、積分を解くために、適切な置換や積分技法を用いることが重要です。特に、分母が三角関数の合成になっている場合、解法が少し特殊になります。
2. 置換法を使用する
まず、この定積分の解法のために、積分する関数の形に合った適切な置換を行います。式の中に出てくる3 cos x + 4 sin xの形を扱うため、通常は合成関数の積分法を使用します。
具体的には、次のような置換を行います。
- u = 3 cos x + 4 sin x という置換
この置換によって、積分を簡単な形に変形することができます。
3. ログの真数が負になる場合の取り扱い
次に、問題文で述べられている「logの真数が負になる」という点についてですが、積分を解く過程で真数が負になることがあります。このような場合、最終的にlogの差を使って正の値にすることができます。これはログの性質を利用した解法です。具体的には、log(a) – log(b) = log(a/b)という式を使って計算します。
4. 解法のまとめ
このように、定積分 ∫₀^{π/2} 1 / (3 cos x + 4 sin x) dx の計算では、適切な置換法を使用して積分を簡単にし、その後、ログの差を利用して最終的な結果を導くことができます。真数が負になる場合でも、ログの性質を活用して解決できるため安心してください。
5. 最終的な答え
積分の結果、最終的には正の値となり、数学的に整った解答を得ることができます。このような問題に挑戦することで、積分技法や三角関数の扱いに慣れることができます。
まとめ
この定積分問題を解くためには、合成関数の積分技法や置換法をうまく活用することがポイントです。ログの真数が負になることがあっても、その解決法を理解し、正しい計算を行うことで、最終的に正しい答えにたどり着けます。
コメント