この記事では、独立な確率変数 X と Y が与えられたときの結合密度関数の求め方と、新しい確率変数 V = XY の密度関数を求める方法について解説します。具体的には、X と Y の確率密度関数が与えられた場合に、(U, V) の結合密度関数を求める手順を詳しく説明します。
問題の理解
まず、問題に与えられた確率密度関数について確認します。
- f_X(x) = 1 / (π√(1 – x²)) (x ∈ [-1, 1])
- f_Y(y) = y * e^(-y² / 2) (y ≠ 0)
これらの確率変数 X と Y は独立であり、U = Y と V = XY という新しい確率変数が定義されています。
結合密度関数の求め方
U = Y および V = XY の結合密度関数を求めるためには、ヤコビアン（Jacobian）を使って変数変換を行います。まず、U と V に関する逆変換を行います。U = Y なので、Y = U と置き換えます。また、V = XY なので、X = V / U となります。
次に、U, V の結合密度関数を求めるために、次のような式を使います。
f_{U,V}(u,v) = f_X(x) * f_Y(y) * |Jacobian|
ここで、Jacobian は変数変換のための行列式であり、U と V に関するヤコビアンを求めます。この式を使って、(U, V) の結合密度関数を求めます。
V の密度関数を求める
次に、V の密度関数を求めるためには、V の確率密度関数を単独で求めます。V の密度関数は、結合密度関数 f_{U,V}(u,v) を積分することで得られます。
f_V(v) = ∫ f_{U,V}(u,v) du
この積分を計算することで、V の密度関数を求めることができます。
V が従う分布
最後に、V の密度関数がどのような分布に従うかを考えます。V = XY であるため、V の分布は X と Y の分布に依存します。ここでは、V の密度関数を解析することで、その分布がどのようなものになるかを求めます。
まとめ
この記事では、独立な確率変数 X と Y に基づく結合密度関数の求め方と、新たに定義された確率変数 V の密度関数を求める方法について解説しました。ヤコビアンを使って変数変換を行い、V の密度関数を得ることで、V が従う分布を特定することができました。確率変数の変換とその解析に関する理解が深まり、複雑な確率密度関数の問題も解決できるようになります。
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