この問題では、方程式「√x + x = 2」の解法に関する疑問が提起されています。質問者は、方程式を「√x = 2 – x」に変形した後、なぜ「x ≥ 0」という条件が必要か、また「両辺を2乗すると同値でなくなるのでは？」という点について質問しています。この記事では、この疑問に対する解説を行います。
1. √x の定義と条件
まず、√x は「x の平方根」を表すため、x が非負の数でないと定義されません。平方根は負の数に対しては実数解を持たないため、実数の範囲で考える限り、x は必ず「x ≥ 0」でなければなりません。つまり、√x = 2 – x という形に変形した時、右辺が負になる場合、平方根が実数解を持たないため、その場合の解は無効です。
2. 変形の過程と条件の重要性
質問者は、「√x = 2 – x >= 0」といった条件に関して疑問を持っていますが、これは平方根の定義に基づく必要な条件です。もし、x が負の場合、「√x」が虚数となり、実数解として扱えません。したがって、解を求める際には、x ≥ 0 の制約を設けることが必須となります。
3. 両辺を2乗するときの注意点
方程式の両辺を2乗することで、平方根を除去できますが、この操作には注意が必要です。具体的には、2乗するときに新たに「不等式が成立する範囲」が増えてしまい、解が一意でない場合があります。例えば、2乗することで新たな解が加わる可能性があるため、元の方程式の解として成立するかを確かめる必要があります。この点が、2乗したことで同値でなくなる理由です。
4. 解の求め方
上記の条件を満たした上で、元の方程式「√x + x = 2」を解くには、まず「√x = 2 – x」と変形し、次に両辺を2乗します。この操作により、x の値を求めることができます。しかし、この時点でxが負でないことが前提となります。最後に求めた解を元の方程式に代入して、解が正しいか確認します。
5. まとめ：√xの解法における重要なポイント
平方根を含む方程式を解く際には、xが非負であることを常に確認する必要があります。特に「√x = 2 – x」のように変形する場合、xの範囲に制約が加わるため、解を求める過程での注意が重要です。また、両辺を2乗する際には、新たな解が生じる可能性があることを理解しておくことが大切です。
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