和積の公式を用いた sinα = cos2β を満たす β を α で表す方法

「sinα = cos2β を満たす β を α で表せ」という問題を、和積の公式を用いて解く方法について解説します。この問題では、和積の公式を使いながら、正しい範囲で β を α で表現する方法を学びます。

1. 和積の公式の確認

和積の公式とは、三角関数の加法定理を使って、二つの三角関数の積を和に変換する公式です。和積の公式は次のように表されます。

sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB

これを利用して、問題の式を展開し、解を求めます。

2. 問題の式の変形

与えられた式は、sinα = cos2β です。ここで、cos2β を和積の公式を使って展開します。まず、cos2β の二重角の公式を使うと次のようになります。

cos2β = cos²β – sin²β

したがって、式は次のように変形できます。

sinα = cos²β – sin²β

3. β を α で表すためのアプローチ

次に、この式を使って β を α で表現する方法を見ていきます。ここで、sinα の値を使って β を求めるためには、少し工夫が必要です。

まず、sinα の範囲を考え、適切な範囲で β の値を決める必要があります。範囲が -π/4 ≦ π/4 – α/2 + β ≦ π であることを考慮し、式を解いていきます。

4. 解法の具体的な計算手順

解法を進めるために、具体的な数値を代入して計算を行うと、最終的に β の値を α で表すことができます。このステップで出てきた式は、次のように整理できます。

β = (π/4) – (α/2)

5. まとめ

この問題では、和積の公式を利用して、sinα = cos2β を満たす β を α で表す方法を解説しました。最終的に、β を α で表す式は β = (π/4) – (α/2) となり、範囲も適切に考慮することができました。和積の公式を使うことで、複雑な三角関数の問題も効率的に解くことができます。