不定積分の解法：Tan^(-1)(x)/(1+x^2)^2の計算方法

本記事では、関数 Tan^(-1)(x)/(1+x^2)^2 の不定積分の解き方を詳細に解説します。数学の積分におけるテクニックを活用して、どのようにしてこの積分を求めるのかを順を追って説明します。

1. 問題の整理

まず、積分の対象となっている関数は、以下の式です。

 ∫ (Tan^(-1)(x))/(1+x^2)^2 dx

ここでは、逆三角関数である Tan^(-1)(x) と、1+x^2 の2乗が含まれた複合的な関数を積分します。

この積分を解くために、有効なアプローチの一つは、逆三角関数の微分公式を使用する方法です。まず、Tan^(-1)(x) の微分公式を思い出してみましょう。

 d/dx [Tan^(-1)(x)] = 1/(1+x^2)

この公式により、 Tan^(-1)(x) の微分が 1/(1+x^2) であることがわかります。これを利用して、積分を簡単に扱えるように変形することができます。

次に、置換積分のテクニックを使用します。具体的には、u = Tan^(-1)(x) とおいて、積分の形を変更していきます。この置換を行うことで、積分がより単純化され、計算しやすくなります。

置換積分を使用すると、積分を以下の形で評価できるようになります。

 ∫ (u)/(1+x^2)^2 dx

この新しい形を使って、積分を進めていきます。

置換積分によって積分が簡単になった後、標準的な積分手法を使って結果を導出します。最終的な解は、次のような形になります。

 ∫ (Tan^(-1)(x))/(1+x^2)^2 dx = 1/2 * (Tan^(-1)(x))^2 + C

この式により、与えられた不定積分が求められます。

本記事では、Tan^(-1)(x)/(1+x^2)^2 の不定積分を解く方法を解説しました。置換積分と逆三角関数の微分公式を使うことで、積分を簡単に求めることができました。この手法は他の積分問題にも応用できるため、ぜひ覚えておくと役立ちます。