実解析学における可測関数の性質：f = g (a.e.) ならば g も可測であることの証明

実解析学の問題では、関数の可測性についての理解が重要です。ここでは、f と g が R → [-∞, +∞] で定義され、f = g (a.e.) が成り立つ場合に、g が可測関数であることを示す問題について解説します。

1. 問題の背景

問題文では、f = g (a.e.)（ほぼ至る所で f と g が等しい）という条件が与えられています。この条件の下で、f が可測関数であるならば、g も可測関数であることを示す必要があります。

まず、f = g (a.e.) とは、f と g が定義域のほとんどの点で等しいことを意味します。このとき、f と g が異なるのは、集合の測度がゼロである部分に限られます。つまり、f と g が異なる部分は、測度ゼロの集合であるため、その部分は可測関数の性質に影響を与えません。

可測関数とは、定義域上で測度論的に意味のある関数であり、逆像が可測集合であるという特性を持ちます。f が可測であれば、逆像は可測集合となります。f と g がほぼ至る所で等しい場合、g の逆像もf の逆像と同じ集合になります。したがって、g の逆像も可測集合であり、g も可測関数となります。

f = g (a.e.) で f が可測関数であれば、g も可測関数であることが示されました。これは、f と g が異なる部分が測度ゼロであり、その部分が可測関数の性質に影響を与えないためです。

この問題では、ほぼ至る所で等しい関数が与えられたとき、その可測性が保たれることを示しました。数学的な証明において、ほぼ至る所での等式や測度論の概念は非常に重要な役割を果たします。