f(p^k)の計算方法とp^k÷pの理解に関する解説

数学の問題で、f(p^k)を求める際の考え方について解説します。特に、p^k ÷ p の部分が直感的に理解しにくい部分があると思いますが、これを簡単に理解できるように説明します。

1. 問題の設定とf(p^k)の定義

まず、問題の設定を整理しましょう。m ≦ nで、mとnが互いに素であるmの個数をf(n)とする時、f(p^k)を求めます。ここで、pは素数、kは自然数で、p^k以下の自然数の中でpの倍数以外の数を求めることが目標です。

f(p^k)を求めるためには、p^k以下の自然数の中でpの倍数ではないものを数える必要があります。そのため、まずはp^k以下の自然数でpの倍数の個数を求めます。

問題で出てきた「p^k ÷ p = p^(k-1)」の部分について考えます。この式が成り立つ理由は、p^k以下の自然数の中でpの倍数の個数を求めるためです。

例えば、p = 5, k = 2の場合、p^k = 5^2 = 25です。この場合、25以下の自然数で5の倍数となる数は、5, 10, 15, 20, 25の5個です。これは、25を5で割った値が5であるため、p^k ÷ pでpの倍数の個数を求めることができるというわけです。

p^k ÷ pで倍数の個数が出せる理由を具体的な数値で理解しましょう。例えば、p = 5, k = 2の場合、25以下の5の倍数は5, 10, 15, 20, 25で、これらの個数は5個です。これは、25を5で割ると5が得られるため、簡単に倍数の個数を計算できるのです。

この考え方は、一般的に「p^k ÷ p = p^(k-1)」として利用できます。p^k以下の数をpで割ることで、その範囲内でpの倍数の個数が計算できるため、この式が成り立ちます。

最後に、f(p^k)を求める方法をまとめましょう。まず、p^k以下の自然数の中でpの倍数の個数をp^k ÷ p = p^(k-1)で求め、その数をp^kから引くことで、pの倍数ではない自然数の個数を求めます。これがf(p^k)となります。

この方法を使うことで、問題をスムーズに解くことができます。問題で与えられたpとkを代入して計算することで、正しい解答を得ることができます。