2024年の共通テスト数学Aで出題される確率の問題、特に「（ⅱ）4回目で初めてA.B.Cが少なくとも1回出る場合」や「（ⅲ）5回目で初めてA.B.Cが少なくとも1回出る場合」について質問が寄せられています。これらの問題は、組み合わせや順列を理解して解く必要があり、少し複雑に感じるかもしれません。この記事では、これらの問題をどのように解くのか、そして答えが一致しない理由について詳しく解説します。
問題の理解：確率と順列・組み合わせ
まず、問題文で述べられている内容を理解することが重要です。A、B、Cという3つのカードがあり、それぞれのカードを引いて確認して戻す操作が繰り返されます。確率を求めるためには、どのようにカードが出るかを確率論的に扱い、順列や組み合わせの考え方を活用します。
「初めてA.B.Cが少なくとも1回出る」という条件がポイントで、順番や回数によって何通りの組み合わせがあるのかを計算することになります。
（ⅱ）4回目で初めてA.B.Cが少なくとも1回出る場合
この問題では、4回目に少なくとも1回A.B.Cのいずれかのカードが出る条件に対して、何通りの組み合わせがあるのかを求めます。まず、A、B、Cの3つのカードから2種類を選びます。その後、選ばれた2種類が3回目までに出ない場合、4回目に出るという設定です。
（ⅱ）の解き方では、選ぶ2種類のカードを選択する組み合わせの数は「3C2」であり、残りの3回でその2種類がどのように出るかを並べ替える方法として「3!」を使用し、最後に4回目で残りの1種類が出るパターンを加えます。結果として18通りとなります。
（ⅲ）5回目で初めてA.B.Cが少なくとも1回出る場合
（ⅲ）の問題では、5回目で初めてA.B.Cが少なくとも1回出る場合の組み合わせを求めます。解き方の基本は（ⅱ）と似ていますが、回数が増えることで並べ替えの選択肢が増えます。まず、A、B、Cのカードから2種類を選び、次に4回目までにその2種類が出ないように並べます。
その後、5回目に残りの1種類が出ることになります。この場合、（ⅲ）の答えが72通りとなることがあると考えがちですが、問題の条件や手順に誤りがある場合、答えがずれることがあります。この点を丁寧に検討する必要があります。
（ⅲ）の答えが72通りで合わない理由
（ⅲ）の問題で72通りにならない理由は、並べ替えの方法に誤りがある可能性があります。問題文において「5回目に初めてA.B.Cが少なくとも1回出る」という条件に従って計算を進める際、回数ごとの選択肢を正確にカウントしないと、過剰に多くの通りを計算してしまうことがあります。
正しい方法は、4回目までに2種類のカードが選ばれ、残りの1種類が5回目に出る組み合わせを計算することです。間違って順列や組み合わせを重複してカウントすると、答えが72通りになることはありません。
まとめ
進研模試や共通テストの確率問題では、カードの選択肢や回数に基づいて組み合わせや順列を正確に扱うことが求められます。問題を解く際には、選択肢がどのように影響するのか、またどの回でどのカードが出るのかをしっかり把握することが大切です。最後に計算を見直すことで、間違いを防ぐことができます。
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