二次関数とその最大値・最小値を求める問題の解法

この問題では、与えられた二次関数に関して様々な条件に基づいて、最大値、最小値、そしてグラフと直線の交点などを求める問題です。これらの問題は、二次関数の特徴を理解し、適切な方法で解くことが必要です。ここでは、各問いに対する解法を具体的に解説します。

① a = -2 のときの最大値が -1 となる k の範囲を求める

まず、与えられた関数 f(x) = ax² – 2a²x + a³ + a + 1 において、a = -2 を代入します。

f(x) = -2x² – 8x – 7 となります。次に、この二次関数の最大値が -1 となるような x の範囲を求めます。二次関数の最大値は、グラフが下に凸か上に凸かにより異なります。この関数は上に凸なので、x の範囲を求めて最大値 -1 を得ることができます。

次に、定義域が -1 ≦ x ≦ 2 のとき、f(x) の最小値が f(2) に等しくなる条件を求めます。最小値を求めるためには、与えられた関数 f(x) を x = 2 で最小値が取れるように設定し、a の値を求めます。

具体的には、f(2) を計算してその値と最小値を一致させるような a の範囲を求めます。

次に、定義域が -1 ≦ x ≦ 2 のとき、f(x) の最大値を a を用いて表す方法を考えます。二次関数の最大値は、頂点の位置と関数の方向（開き具合）に依存します。定義域内の最大値を求めるためには、x = -1 と x = 2 の f(x) を計算して、比較することが必要です。

最大値を a を用いて表すことができ、求めることができます。

最後に、直線 y = 2x – a + 1 が関数 f(x) のグラフと交わる条件を求めます。直線と二次関数が交わる点の距離（交点間の距離）は、式の解として求められます。この距離が 2/5 より小さくなるような a の範囲を求めます。

交点の距離を求めるためには、まず直線と二次関数の交点を求め、その距離を計算し、条件を満たす a の範囲を導き出します。

この問題では、与えられた二次関数の最大値や最小値を求めたり、直線との交点を計算することが求められています。それぞれの問題は、二次関数の性質を理解し、適切な計算を行うことで解決することができます。各問いに対する解法をしっかりと理解しておくことが重要です。