確率変数、期待値、分散に関する問題の解説

この問題では、確率変数、期待値、分散に関する基本的な計算方法を理解することが求められています。問題文に登場するカードを引く試行に対し、確率変数XとYが定義され、それに基づく確率や期待値、分散を求める問題です。では、1つ1つ順を追って解いていきましょう。

1. 問題設定

まず問題文を整理します。カードは40枚、4色のカード（白、黄、赤、青）それぞれに1〜10の番号がついています。試行では1枚のカードをランダムに引き、その結果に基づいて確率変数XとYを定義します。

確率変数Xはカードの色によって次のように定義されています。

確率変数Yはカードに書かれた数をそのまま取ります。

次に、P(X + Y > 4) を求めます。まず、XとYの組み合わせに基づいて、X + Y が4を超える場合の確率を求めます。確率変数XとYの取り得る値に応じて計算を行い、その確率を算出します。

期待値E(X)を計算します。期待値は確率変数の平均的な値であり、確率変数Xの値に対する各確率の重み付き平均です。Xの値とその確率を使ってE(X)を求めます。

分散V(X)は、確率変数Xのばらつきの度合いを示す指標です。V(X)を計算するには、Xの値の二乗の期待値からE(X)の二乗を引きます。計算式に従い、Xの分散を求めます。

以上で、問題に出てきた確率変数XとYの計算方法を学びました。期待値や分散、確率の計算は確率論の基礎となる重要な部分です。これらの基本的な手順を理解し、練習することで確率に関する問題がスムーズに解けるようになります。