2つの2次方程式が共通の解を1つ持つ場合、その解を求めるためには、方程式同士の関係を利用することができます。具体的に、方程式x²-3x-28=0とx²+ax-14=0が共通の解を1つ持つような整数aの値を求める方法を解説します。
問題の確認
まず、与えられた2つの方程式は以下の通りです。
- 1つ目: x² – 3x – 28 = 0
- 2つ目: x² + ax – 14 = 0
これらの方程式が共通の解を1つ持つという条件から、解を求める手順を見ていきます。
ステップ1：1つ目の方程式を解く
まず、1つ目の方程式x² – 3x – 28 = 0を解きます。2次方程式の解の公式を使用して解くと。
x = [-(-3) ± √((-3)² – 4×1×(-28))] / 2×1
これを計算すると。
x = [3 ± √(9 + 112)] / 2 = [3 ± √121] / 2 = [3 ± 11] / 2
したがって、2つの解はx = 7またはx = -4です。
ステップ2：共通の解を持つ条件を使う
次に、2つ目の方程式x² + ax – 14 = 0において、1つ目の方程式の解のどちらか（7または-4）が共通の解であるという条件を考えます。これを使ってaの値を求めます。
まず、x = 7を代入してaを求めます。
7² + a(7) – 14 = 0
49 + 7a – 14 = 0
35 + 7a = 0
7a = -35
a = -5
次に、x = -4を代入してaを求めます。
(-4)² + a(-4) – 14 = 0
16 – 4a – 14 = 0
2 – 4a = 0
4a = 2
a = 1/2
しかし、aは整数である必要があるため、a = 1/2は解として適用できません。
ステップ3：aの値を確定する
したがって、a = -5のみが整数解として成立します。
まとめ
与えられた2つの2次方程式が共通の解を1つ持つための整数aの値はa = -5です。この手順では、2次方程式の解の公式を用いて最初の方程式を解き、次に共通の解が成り立つような条件からaの値を導きました。
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