関数y=x²-5x+7の区間における最大値と最小値の差を求める方法

関数y=x²-5x+7について、指定された区間[a, a+1]での最大値Mと最小値mの差(M-m)が8になるような実数aの値を求める方法を解説します。この問題では、関数の最大値と最小値を求めるために、微分を使って解析的に解く方法を説明します。

関数の最大値と最小値を求める

まず、与えられた関数y=x²-5x+7を考えます。この関数の最大値と最小値を区間[a, a+1]で求めるためには、まずこの関数の微分を求め、極値を求める必要があります。

関数y=x²-5x+7の1階微分を求めましょう。

関数y=x²-5x+7の1階微分は、次のように計算できます。

y’ = 2x – 5

この式から、y’ = 0となる点を求めることで、極値が存在する場所を特定できます。

y’ = 0と置くと、次のようになります。

2x – 5 = 0

これを解くと、x = 5/2となります。したがって、x=5/2で極値があります。

次に、このx=5/2を区間[a, a+1]に含めるようなaの値を求めます。

x=5/2が区間[a, a+1]に含まれるためには、次の条件を満たす必要があります。

a ≦ 5/2 ≦ a + 1

この条件から、aの範囲を求めると。

a ≦ 5/2 かつ 5/2 ≦ a + 1

つまり、a ≦ 5/2 かつ a ≧ 3/2となります。したがって、aの範囲は[3/2, 5/2]です。

次に、M-m=8が成り立つようなaを求めるために、x=5/2での最大値と最小値を求めます。この範囲でのyの値を計算すると、M-mが8になる条件を満たすaの値が導き出されます。

関数y=x²-5x+7の区間[a, a+1]における最大値と最小値の差が8になるようなaの値は、範囲[3/2, 5/2]にあります。この方法を使って、関数の最大値と最小値を求めることができ、さらにその差が特定の値に等しくなるaの値を導き出すことができます。