線形計画問題では、目的関数を最大化または最小化するために、与えられた制約条件を満たす最適な解を求めることが求められます。今回の問題では、Max Z = cx₁ + 5x₂という目的関数を最大化し、x₁ ≦ 4, x₂ ≦ 6, 3x₁ + 2x₂ ≦ 18, x₁, x₂ ≧ 0という制約条件の下で最適解と最適値を求めます。cの値に応じた場合分けを行って解説します。
問題の理解と式の確認
与えられた問題は、目的関数Z = cx₁ + 5x₂を最大化するというものです。制約条件として、x₁ ≦ 4, x₂ ≦ 6, 3x₁ + 2x₂ ≦ 18, x₁, x₂ ≧ 0が与えられています。ここで、cは非負の値であり、このcの値によって最適解が変わるため、場合分けが必要です。
最初に、この問題を解くためには、x₁, x₂の取りうる値を計算し、各場合におけるZの最大値を求めます。
ステップ1：cの値による場合分け
cの値が異なると、最適解が変わるため、まずはcがどのように最適解に影響を与えるのかを確認します。
cの値が小さい場合と大きい場合で、最適解は異なるため、制約条件を考慮しながら、それぞれの場合について最適解を求めます。
ステップ2：制約条件と可行領域の確認
次に、制約条件をグラフに描き、可行領域を確認します。x₁ ≦ 4, x₂ ≦ 6, 3x₁ + 2x₂ ≦ 18という制約をグラフ上にプロットすることで、最適解がどこに位置するかがわかります。
制約条件の下で可行領域を見つけ、各頂点で目的関数Z = cx₁ + 5x₂を評価します。最適解はこの可行領域の頂点の中でZが最大となる点です。
ステップ3：最適解と最適値の求め方
次に、最適解を求めます。最適解は、グラフ上で可行領域の頂点における目的関数の値を評価し、最大となる点を見つけることで求めることができます。
例えば、cの値に応じて、x₁ = 4, x₂ = 6の点での評価を行い、最大値を確認します。最適解が得られるのは、目的関数が最大となる点です。
まとめ
線形計画問題を解くためには、cの値によって場合分けを行い、制約条件を満たす可行領域の頂点を確認します。そして、その頂点で目的関数の値を評価し、最大値を求めることで最適解と最適値を得ることができます。cが異なる場合に対して最適解を計算し、最適値を導き出す方法を理解することが重要です。
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