今回は、2つの数学問題に関して解説を行います。1つ目は、与えられた式に対して解の存在を確認する問題で、2つ目は数列の和を求める問題です。それぞれの問題を順を追って解き、問題に必要なステップを説明します。
問1：a！+2^(p-1)－n^2＝2025
この問題では、a、nを自然数、pを素数として、与えられた等式を満たす(a, n, p)の組みを求めます。
まず、式を整理すると、a！+2^(p-1)－n^2＝2025となります。この式を満たす自然数a、n、pの組を求めるために、各値を代入して調べる必要があります。
(1) 小球1と小球2の高さ
a！(aの階乗)は計算が早く増加するため、aの値を適宜選んで計算していきます。同様に、pは素数であることを考慮して選びます。最終的に等式を満たす組み合わせを求める過程が解答のキーポイントとなります。
問2：数列の和
次に、数列{a(n)}の和S(2025)を求める問題です。数列は以下のように定義されています。
a(1)＝1, a(n+1)＝(-1)^n/a(n)
この場合、S(n)を求めるためには数列の初項から第n項までを計算していきます。初項が1であり、次の項が-1/a(n)となるため、数列の一般項を求める必要があります。
初項から第n項までの和
数列の性質に着目すると、項の符号が交互に変化するため、奇数項と偶数項の和を別々に求めることでS(2025)を計算できます。この問題を解くためには数列の規則性をしっかり理解し、適切に計算を行うことが重要です。
大学受験レベルの数学問題
これらの問題は、大学受験で求められる問題の中でも、関数や数列に関連した典型的な問題です。問題の解法を理解することで、数学の基礎力を向上させることができます。また、このような問題を解くことは、問題を論理的に解決する力を養うのにも役立ちます。
まとめ
今回の問題は、与えられた式を整理して解を求める問題や、数列の規則性を理解し、和を求める問題でした。いずれの問題も大学受験でよく出題されるタイプの問題ですので、解法を理解し、練習を積むことが重要です。数学の問題解決能力を高めるために、同様の問題を繰り返し解いてみることをお勧めします。
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