離散数学の問題の中でも、ハッセ図を描く問題はよく出題されます。ここでは、与えられた条件に基づいてハッセ図を描く方法と、問題の解法のポイントをわかりやすく解説します。
問題の要点
まず、問題の条件を整理します。与えられた集合A = {a, b, c, d, e, f}と半順序⪯に基づいて、以下の条件を満たすものを探します。
- aがAの最小元である。
- b ⪯ c と d ⪯ e が成り立つ。
- ｛c, d, f｝の極大元は1つ、極小元は2つある。
- ｛b, f｝の上界は存在するが上限は存在しない。
半順序集合のハッセ図を描くステップ
1. まず、Aの要素に順序関係を割り当てます。最小元aからスタートし、b、c、d、e、fの位置関係を定義します。
2. それぞれの条件を順序関係に反映させます。特に「b ⪯ c」と「d ⪯ e」が成り立つことを確認し、それに基づいて関係を追加します。
条件に基づくハッセ図の描き方
ハッセ図を描く際には、各要素をノード（点）として配置し、順序関係を矢印で表現します。矢印は上向きに描き、上位の要素が下位の要素よりも大きいという関係を示します。
たとえば、「b ⪯ c」の関係を表現するために、bからcに向けて矢印を引きます。同様に、「d ⪯ e」を表すためにdからeへの矢印も引きます。
極大元と極小元について
極大元と極小元は集合の中で非常に重要な概念です。問題の中で「｛c, d, f｝の極大元は1つ、極小元は2つある」とありますが、これはc、d、fの中で他の要素と比べて最大または最小であるものを探すことを意味します。実際にこれらをハッセ図で確認することができます。
上界と上限について
上界と上限の違いも重要です。問題では「｛b, f｝の上界は存在するが上限は存在しない」と書かれています。上界は、bとfよりも大きいが、それ自体が最小でない場合です。一方、上限はその上界の中で最も小さいものを指します。
まとめ
ハッセ図の描き方は、与えられた条件に従って要素を順序通りに配置し、矢印で関係を示すことです。問題における極大元や極小元、上界や上限の定義をしっかり理解することで、正確なハッセ図を描くことができます。
コメント