数学の最適化問題において、ラグランジュの乗数法は非常に強力なツールです。この方法を使って、制約条件下で関数の極値を求める問題を解くことができます。この記事では、ラグランジュの乗数法を用いて、x^2 + y^2 = 1という制約条件下でz = z^2 + 4xy + 4y^2の極地を求める方法を解説します。また、解の候補が複数含まれている理由についても説明します。
ラグランジュの乗数法とは？
ラグランジュの乗数法は、制約付き最適化問題を解くための方法です。基本的な考え方は、制約条件を「ラグランジュ乗数」という変数を使って関数に組み込むことです。この方法を使用することで、最適化問題を無制約な問題に帰着させることができます。
具体的には、目的関数と制約条件の両方を同時に満たす点を求めることができます。
問題の設定と式の導出
この問題では、x^2 + y^2 = 1という制約条件の下で、z = z^2 + 4xy + 4y^2の極値を求めることが求められています。ラグランジュの乗数法を適用するためには、まずラグランジュ関数を定義します。
L(x, y, λ) = z - λ(x^2 + y^2 - 1)
ここで、λはラグランジュ乗数です。この関数に対して、x, y, λについて偏微分し、ゼロになる点を求めます。
解法の過程と必要なステップ
ラグランジュ乗数法の最適化条件を使うと、以下の偏微分方程式が得られます。
2x - λ(2x + 4y) = 0
2y - λ(4x + 8y) = 0
これを解くことで、xとyの関係式が導かれます。
ここで、重要なのは「2x – y = 0」という関係式です。この式を制約条件x^2 + y^2 = 1に代入することで、(x, y)の解が得られます。
解の候補の違いとその理由
得られた解は(x, y) = (±1/√5, ±2/√5)と示されていますが、実際の解には(x, y) = (±2/√5, -(±)1/√5)という解も含まれていることがあります。この違いは、ラグランジュの乗数法で得られた解の符号の違いに起因しています。
解を求める過程で、符号の選択肢が二つ存在するため、(x, y)の候補が複数になることがあります。したがって、これらの解は対称的に存在し、複数の解が極地となり得ます。
まとめ
ラグランジュの乗数法を用いて制約条件付きの最適化問題を解く際、解の候補が複数存在することがあります。今回の問題では、(x, y) = (±1/√5, ±2/√5)と(x, y) = (±2/√5, -(±)1/√5)の解が求められました。このような符号の違いは、ラグランジュの乗数法における解法の特性に起因します。最適化問題を解く際には、解の対称性や符号に注目することが重要です。
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