データの2乗の平均値はなぜ平均値の2乗+分散で求められるのか？

データの2乗の平均値といった統計量は、統計学やデータ解析の中で非常に重要な概念です。しかし、なぜそれが「平均値の2乗＋分散」として計算できるのかという疑問を持つ方も多いのではないでしょうか。この記事では、この疑問を解決するために、その計算方法と理論的な背景を分かりやすく解説します。

データの2乗の平均値とは？

データの2乗の平均値とは、データの各値を2乗した後に、それらの2乗値の平均を取るというものです。数学的には、以下の式で表されます。

E(X^2) = (1/n) Σ (x_i)^2

ここで、x_iは各データ点、nはデータ点の数です。この計算により、データの各値がどれだけ散らばっているかを理解することができます。

次に、平均値と分散の関係について理解しておきましょう。平均値（μ）は、データ全体の中心的な位置を示し、分散（σ²）はデータがどれだけ広がっているかを示します。

分散は、各データ点から平均値を引いた値を2乗し、その平均を取ったものです。すなわち、分散は以下の式で表されます。

Var(X) = (1/n) Σ (x_i - μ)^2

では、なぜデータの2乗の平均値が平均値の2乗＋分散で求められるのでしょうか？この関係を導くために、次の式を使います。

E(X^2) = E((X - μ + μ)^2) = E((X - μ)^2 + 2μ(X - μ) + μ^2)

これを展開すると、以下のようになります。

E(X^2) = E((X - μ)^2) + 2μE(X - μ) + μ^2

ここで、E(X – μ)は0になるため、式は次のように簡単になります。

E(X^2) = Var(X) + μ^2

これが、データの2乗の平均値が「平均値の2乗＋分散」として表される理由です。

例えば、データセットが{1, 2, 3, 4, 5}の場合を考えてみましょう。まず、平均値μを求めます。

μ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 3

次に、各データ点の2乗の平均値を求めます。

E(X^2) = (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2) / 5 = (1 + 4 + 9 + 16 + 25) / 5 = 55 / 5 = 11

次に分散を計算します。

Var(X) = [(1 - 3)^2 + (2 - 3)^2 + (3 - 3)^2 + (4 - 3)^2 + (5 - 3)^2] / 5 = (4 + 1 + 0 + 1 + 4) / 5 = 10 / 5 = 2

そして、平均値の2乗を求めます。

μ^2 = 3^2 = 9

最後に、これらの結果を確認します。

E(X^2) = Var(X) + μ^2 = 2 + 9 = 11

データの2乗の平均値は、実際には平均値の2乗と分散を足した値として計算できることがわかりました。この関係は、統計学の基本的な性質に基づいており、データの分布の理解に役立ちます。これを理解することで、データ解析における計算の流れをスムーズに進めることができるでしょう。