大学数学の積分問題解説：ステップバイステップで理解する方法

本記事では、大学数学における積分の問題をいくつか取り上げ、それぞれの解法を詳しく解説します。積分の基本的な考え方やテクニックを理解し、実際に積分を計算するプロセスをステップバイステップで学んでいきましょう。

1. ∫1→2 x/(√(2x+5)) dx の解法

この積分を解くには、分子と分母の関係に注目して変数変換を行います。まず、式を簡略化するために変数u = 2x + 5 と置き、duを求めて積分します。この方法で、定積分が解けます。

具体的には、変数変換後に積分を実行し、最終的な値を求めます。これにより、積分範囲を適切に変換し、結果を求めることができます。

次の積分も、類似の変数変換を使って解きます。今回は、√(4 − x²)という項に注目して、三角関数の置換を行います。x = 2sinθと置換し、積分をθについて計算します。こうすることで、積分がより簡単に計算できます。

この問題も、三角関数による置換積分を使い、計算を進めていきます。計算結果として、最終的に定積分の値を得ることができます。

この積分では、有理関数の積分のテクニックを使用します。まず、分母の形を見て、部分分数分解が必要かを判断します。ここでは、x² + 3 は簡単に分解できないため、直接積分を行います。

解法としては、積分定数を含めた形で解答を求めることができます。実際に積分を行い、定積分の範囲に代入して結果を得ます。

この問題では、積分部分を分けて計算することが重要です。xlog(x² + 1)の積分は、部分積分法を用いることで解決します。具体的には、u = log(x² + 1) と v = x として部分積分を行い、最終的な積分を求めます。

部分積分を繰り返すことで、最終的に積分が解けるようになります。途中で出てくる項を適切に整理して、積分を完成させることができます。

この記事では、4つの大学数学の積分問題を解説しました。各問題は、積分の基本的な手法を駆使して解くことができ、変数変換や部分積分法などを用いることで、問題を解決できます。これらの解法を通じて、積分のスキルを向上させることができます。