ベクトルを用いた三角形OABの問題解説：ベクトルOPとONを求める方法

この問題では、三角形OABの各点について、ベクトルを使ってOPとONを求める方法を解説します。問題の設定に従い、ベクトルOAとOBを基準にして、OPおよびONをどのように表すかを具体的に計算していきます。

問題の前提条件と設問の整理

三角形OABの内部に、点Pが存在し、いくつかの点が内分する関係にあります。点Lは辺OAを2:1に内分し、点Mは辺OBの中点です。さらに、線分BL、AMが交わる点Pを考え、直線OPと辺ABの交点Nを求めます。

まず、点Pの位置を求めるために、点Pは線分BLとAMの交点に位置しています。これをベクトルで表すには、LとMの座標を使って、線分BL、AMをそれぞれパラメータtを用いて表現します。具体的には、ベクトルOPは点L、M、そしてPの座標を基に、ベクトルOAとOBを使って計算できます。

ベクトルOPの計算式を導出する過程を順を追って解説し、具体的にどのようにベクトルOA、OBの線形結合として表すかを示します。最終的に、ベクトルOPはtの値によって表現されます。

次に、点Nは直線OPと辺ABの交点です。ベクトルONを求めるには、まず点Oから点Nまでの直線を構築し、その後、Nがどこに位置するかを計算します。ベクトルONは、ベクトルOAとOBの線形結合として表すことができます。

ベクトルONを計算するための公式を導き、点Nの座標を基にベクトルONを求める方法を説明します。この過程で、交点Nの位置がどのように決まるかを理解します。

この問題を通じて、ベクトルを使って三角形OABの内部の点や交点を求める方法を学びました。特に、内分点や交点のベクトル表現は、幾何学的な問題をベクトルを使って簡潔に解く方法の一例です。問題の各ステップを分かりやすく解説することで、ベクトルの計算方法とその応用力が向上します。