y = x^2 + 2(m-2)x + mのグラフの交点を求める方法｜定数mの範囲の求め方

今回は、二次関数y = x^2 + 2(m-2)x + mのグラフとx軸が異なる2点で交わるときの、定数mの値の範囲について解説します。特に、x軸の正の部分と負の部分で交点が存在する条件を求めます。

問題の整理

与えられた関数は、y = x^2 + 2(m-2)x + mです。グラフがx軸と交わるということは、y = 0のとき、すなわちxの値が2つ異なる場合に交点があることを意味します。二次関数のグラフとx軸が2点で交わるためには、判別式が正である必要があります。

まず、この方程式をy = 0に代入して解きます。

0 = x^2 + 2(m-2)x + m

この式を解くための判別式Dを求めます。二次方程式ax^2 + bx + c = 0の判別式Dは、D = b^2 – 4acです。ここで、a = 1, b = 2(m-2), c = mとなるため、判別式は以下のように計算できます。

D = [2(m-2)]^2 – 4(1)(m)

D = 4(m-2)^2 – 4m

D = 4[(m-2)^2 – m]

交点が2点であるためには、判別式Dが0より大きい必要があります。よって、次の不等式が成り立つ必要があります。

4[(m-2)^2 – m] > 0

これを解くと、mの範囲が求まります。まず、(m-2)^2 – mを展開して整理します。

(m-2)^2 – m = m^2 – 4m + 4 – m = m^2 – 5m + 4

したがって、不等式は次のようになります。

4(m^2 – 5m + 4) > 0

m^2 – 5m + 4 > 0

この二次不等式を解くと、mの範囲が分かります。

m^2 – 5m + 4 = 0の解を求めると、m = 1, 4 となります。したがって、m^2 – 5m + 4 > 0となる範囲は、m < 1 または m > 4 となります。この条件が、y = x^2 + 2(m-2)x + mのグラフがx軸と異なる2点で交わるためのmの範囲です。

この問題では、二次関数のグラフがx軸と異なる2点で交わるための条件を求めました。mの範囲は、m < 1 または m > 4 となります。この範囲では、グラフがx軸の正の部分および負の部分で交わることが確認できます。