この問題では、与えられたベクトル場Aと面Sに対して面積分 ∬ₛ A・dS を求める方法を解説します。具体的には、ベクトル場A = z i + (y + 4) j + 8x k、面S: 4x + 2y + z = 4、x ≥ 0, y ≥ 0, z = 0 という条件を使って、どのように解くかを説明します。
ベクトル解析の基本概念
ベクトル解析では、面積分 ∬ₛ A・dS は、ベクトル場Aが面Sを通過する流れの強さを示します。面Sはz = 0の平面上の領域で、四角形の領域になります。ベクトル場Aは、x, y, z の座標に依存した成分を持っており、これを基に面積分を計算することが求められます。
問題設定と条件
与えられた面Sの式は 4x + 2y + z = 4 です。この式から、面の方程式を z = 4 – 4x – 2y として表せます。また、面の範囲は x ≥ 0, y ≥ 0 の条件があり、z = 0 のときの面積を求めるため、これを使って積分範囲を決定します。
面積分の計算手順
面積分 ∬ₛ A・dS を求めるために、まずは dS を求めます。dS は面Sの面積要素であり、面の法線ベクトルの大きさに対応します。面の法線ベクトルは、面の方程式の勾配ベクトルから求められます。すなわち、∇(4x + 2y + z) = (4, 2, 1) です。
次に、ベクトル場 A = z i + (y + 4) j + 8x k を用いて、面積分 ∬ₛ A・dS を計算します。ここで重要なのは、面積要素 dS とベクトル場 A の内積を積分範囲にわたって積分することです。
具体的な計算
1. 面の方程式から z = 4 – 4x – 2y を代入します。
2. 内積 A・dS を計算し、面の範囲に関する積分を実行します。
まとめ
この問題では、与えられたベクトル場Aと面Sに対して、面積分 ∬ₛ A・dS を計算しました。面積分の計算においては、まず面の方程式と法線ベクトルを利用し、その後ベクトル場と面積要素の内積を計算して積分範囲を決定します。ベクトル解析における面積分の概念と計算手順を理解することが重要です。
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