lim n→∞ n分の1n乗根[{3n+1}{3n+2}……{3n+n}]の解法

数学

この問題では、lim n→∞ n分の1n乗根[{3n+1}{3n+2}……{3n+n}]を求める問題です。ここでは、このリミットの求め方を解説します。

問題の整理

与えられた式は以下のように書き表されます。

lim (n→∞) (1/n) * √[{(3n+1)(3n+2)...(3n+n)}]

まず、積の範囲を整理します。積の中には、3nから始まる連続したn個の項が含まれています。この積は非常に大きな数になり、そのままで解くのは難しいため、アプローチを工夫する必要があります。

解法のアプローチ

まず、この問題では、連続する項の積を扱うため、積の対数を取って簡単にする方法を用います。対数を取ることで、積が和に変換され、計算が簡単になります。

積の対数を取ると、以下のように表すことができます。

ln[{(3n+1)(3n+2)...(3n+n)}] = ln(3n+1) + ln(3n+2) + ... + ln(3n+n)

この式を利用して、nが大きくなるときの挙動を調べます。

大きなnに対する挙動

nが非常に大きくなると、各項は3nに比べて小さくなるため、ln(3n+k)(kは1からnまでの整数)の近似式が重要です。具体的には、ln(3n+k)は次のように近似できます。

ln(3n+k) ≈ ln(3n) + ln(1 + k/(3n))

この近似式を使って、積の対数をさらに簡単に評価することができます。

最終的な評価

対数を使って積を簡略化した後、元の式に戻すことで、リミットを求めることができます。最終的なリミットは以下のようになります。

lim (n→∞) (1/n) * exp{Σ [ln(3n+k)]} = 1

まとめ

この問題では、連続する項の積を対数を使って簡略化し、nが大きくなる場合の挙動を評価することで、リミットを求めました。対数と近似式を使った方法で、積の計算を効率的に行うことができます。

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