媒介変数表示は、数学における重要な手法で、特に円や曲線のパラメトリック方程式の解法に役立ちます。この記事では、質問者が抱える疑問を解決し、媒介変数表示の問題をどのように解くかについて詳しく解説します。
1. 媒介変数表示の基本的な考え方
問題で与えられた円の方程式 x² + y² = 4（y ≧ 0）の円周上の動点 P(x, y) に対し、媒介変数θを使って x と y を次のように表現します。
x = 2cosθ, y = 2sinθ (0 ≦ θ ≦ π)
この式では、θを動かすことによって、円周上の各点を表現できることが分かります。ここでθは、円周上の角度として、xとyの位置を決定するパラメータの役割を果たします。
2. W = x²・y の定義とその意味
次に、W = x²・yという式を考えます。この式は、動点P(x, y)の位置に関する新しい関数です。なぜWがθの関数になるかというと、xとyがθに依存しているからです。x = 2cosθ, y = 2sinθ という媒介変数表示をWに代入することで、Wがθに関する式として表現できることが分かります。
具体的には、W = (2cosθ)² * (2sinθ) = 4cos²θ * 2sinθ となり、これをt = sinθを用いて表すことができます。
3. t = sinθ を使ったWのθにおける式
t = sinθと置くことで、Wはtの関数に変換されます。これは、sinθがtに置き換わることで、Wをtだけの式にすることができるためです。
W = 4cos²θ * 2sinθ という式を、t = sinθと置き換えると、cos²θは1 – t²になるので、Wは次のように表されます。
W = 4(1 – t²) * 2t = 8t – 8t³
4. Wの最大値と最小値を求める理由
W = 8t – 8t³ の式から、tの範囲は0 ≦ t ≦ 1です。この範囲内でWの最大値と最小値を求めることは、関数の変化の様子を理解するために重要です。最大値と最小値を求めることで、動点P(x, y)が移動する中でWの値がどのように変化するか、つまり、ある条件下でのPの位置における特性を把握することができます。
Wの最大値と最小値を求めることで、特定の時点でPの位置がどれだけ変化するかを理解するために役立ちます。
まとめ
媒介変数表示を使用すると、幾何学的な問題を代数的に扱いやすくなり、関数として変換することで問題が解きやすくなります。今回の問題では、動点Pの位置に関する新しい関数Wを求め、その最大値と最小値を求めることで、動点の特性を理解することができます。こうした問題を解くことで、媒介変数表示の有効性を実感し、より深く数学的な思考を身につけることができます。
コメント