最小分解体と体の拡大次数に関する問題：［L:K］≦n!の証明

この問題では、多項式の最小分解体に関連する体の拡大次数について説明します。具体的には、Kを体とし、f(x)がK[X]におけるn次多項式（n≦1）のとき、f(x)のK上の最小分解体Lに対する拡大次数［L:K］が≦n!であることを示す必要があります。

最小分解体とは？

最小分解体Lとは、多項式f(x)のすべての解を含む最小の体で、f(x)のすべての根（解）を持つ最小の拡大体です。例えば、f(x)が複素数の根を持つ場合、その解を含む最小の体は複素数体Cとなります。

最小分解体Lは、元々の体Kからf(x)の根を含むように拡大された体です。この拡大体の次数は、f(x)の解をどれだけ新しい要素としてKに加えたかによって決まります。

問題の核心は、f(x)のK上の最小分解体Lの拡大次数［L:K］がn!以下であることを示すことです。多項式f(x)がn次のとき、その最小分解体Lの拡大次数はf(x)のすべての異なる解に関連しています。

一般に、n次多項式は最大でn個の異なる解を持つことができます。したがって、最小分解体Lは最大でもn個の解を含み、それに対応する体の拡大次数［L:K］は、解の並べ替えや置換に基づく対称群の大きさに影響されます。

最小分解体Lの拡大次数は、f(x)の根をKに加える過程での対称性に関わる要素です。n次多項式の解を含む最小分解体は、解の並べ替え（置換）に関連する対称群によって記述され、その群の大きさはn!であることが知られています。

これにより、最小分解体Lの拡大次数［L:K］は、解の並べ替えの可能な順列の数、すなわちn!に制限されることが分かります。

最小分解体Lの拡大次数［L:K］がn!以下であることを示すためには、f(x)の解が持つ対称性（置換群）が重要な役割を果たします。n次の多項式の最小分解体は、解の並べ替えの数（n!）に制限され、その結果、拡大次数はn!以下であることが確認できます。