ベクトル解析における面積分の問題は、特に法線ベクトルの向きやベクトル場の定義に注目する必要があります。この問題では、指定された平面領域S上で、ベクトル場A = z i + (y + 4) j + 8x k として面積分を求める方法を解説します。
1. 問題の確認と必要な情報の整理
与えられたベクトル場Aは、A = z i + (y + 4) j + 8x k です。面積分を求めるためには、S上で法単位ベクトルnの向きが原点から遠ざかるように選ばれていることを確認することが重要です。さらに、Sは4x + 2y + z = 4という平面であり、x ≧ 0, y ≧ 0, z = 0 の制約もあります。
2. 面積分の定義と法線ベクトルの計算
面積分 ∬ₛ A・dS は、ベクトル場Aと法線ベクトルnの内積に、面積要素dSを掛けたものです。まず、平面Sの方程式4x + 2y + z = 4から法線ベクトルnを求めます。この方程式の法線ベクトルは(4, 2, 1)です。この法線ベクトルは、原点から遠ざかる向きに選ばれます。
次に、この法線ベクトルを単位ベクトルに正規化する必要があります。法線ベクトル(4, 2, 1)の長さは√(4² + 2² + 1²) = √21なので、単位法線ベクトルは(4/√21, 2/√21, 1/√21)となります。
3. 面積分の計算
次に、面積分を計算します。面積要素dSは、平面Sの微小面積の大きさを示します。これを計算するためには、平面S上での微小面積dSが、面積要素の絶対値である|n|によって与えられることを利用します。dS = √21 dx dy となり、面積分の式は以下のように書けます。
∬ₛ A・dS = ∬ₛ (z i + (y + 4) j + 8x k) ・ (4/√21, 2/√21, 1/√21) dx dy
4. 結果とまとめ
最終的に、面積分の計算を行うことで、与えられた条件に対する解を求めることができます。詳細な計算を通じて、与えられた領域Sでの面積分がどのように評価されるかを学びました。このような問題では、ベクトル場の定義と法線ベクトルの計算が重要です。
この問題を解くことにより、ベクトル解析における面積分の基本的な計算手法を理解できました。これを実際の問題に適用することで、より複雑な解析にも対応できるようになります。
コメント