複素数平面における不等式 | 複素数zの絶対値の範囲の求め方

複素数平面における問題で「|(1+i)t+1+α|≤1」を満たす実数tが存在するような複素数αの範囲を求める問題について、解説します。ここでは、複素数zの絶対値を|z|で表し、問題における条件をどのように解釈し、複素数平面上に図示するのかを見ていきます。

1. 問題の理解と式の展開

まず、与えられた不等式をよく見てみましょう。式は「|(1+i)t + 1 + α| ≤ 1」です。この式の中で、(1+i)t + 1 + αという複素数の絶対値が1以下であることを求めています。ここで、(1+i)tという項は、複素数(1+i)に実数tを掛けたものです。

この式を解くためには、まず複素数の加算や乗算の基本的な性質を理解する必要があります。複素数(1+i)tは、実部と虚部の両方に影響を与えます。この式を複素数平面における座標として扱い、どのようにαが影響するかを視覚的に理解することが重要です。

複素数z = a + biにおいて、zの絶対値|z|は、複素数平面上で原点からzまでの距離を表します。具体的には、|z| = √(a² + b²)です。この概念を使って、|(1+i)t + 1 + α| ≤ 1を満たす範囲を図示することができます。

この不等式が示すのは、複素数(1+i)t + 1 + αが原点から1の距離以内に収まる点を指し示しています。したがって、(1+i)t + 1 + αが満たすべき条件を見つけ出すために、複素数平面における円の範囲を求めることになります。

αは複素数なので、実部と虚部に分けて考えます。α = x + yi (x, yは実数)として、式を整理します。このとき、tが実数であることから、tに対しての影響を評価するためにグラフにプロットすることが有効です。

具体的には、複素数(1+i)tの動きと、1 + αの影響を考慮する必要があります。グラフ上で、αがどの範囲にあるときに不等式を満たすかを視覚的に求めます。

この問題の解法は、αの範囲を求めることと同時に、グラフを描くことです。グラフを描くと、αが複素数平面上でどの範囲にあるときに不等式が成り立つかが視覚的に理解できます。ここでは、複素数平面における円の形状が重要で、具体的な計算に基づいてその範囲を特定することが解答に繋がります。

複素数平面における問題「|(1+i)t + 1 + α| ≤ 1」を解くためには、まず複素数の基本的な性質を理解し、その後、αが満たすべき範囲を求める必要があります。グラフを描くことで視覚的に理解しやすくなり、解答を導きやすくなります。計算を通じて得られる範囲を確認することが重要です。