0から1までの積分：log(3+x)の解法

この問題では、関数log(3+x)を0から1の範囲で積分する方法について説明します。積分を通して、積分計算の基礎や対数関数の扱い方を学びます。

積分の準備

まず、与えられた式はlog(3+x)です。この式を0から1の範囲で積分することを考えます。積分式は以下のようになります。

∫[0,1] log(3+x) dx

この積分を解くには、部分積分の公式を使用します。部分積分の公式は以下のようになります。

∫ u dv = uv - ∫ v du

ここで、u = log(3+x) とし、dv = dx とします。すると、du = 1/(3+x) dx となり、v = x となります。これを使って積分を計算します。

部分積分の公式を適用すると、次のようになります。

∫[0,1] log(3+x) dx = x log(3+x) - ∫ x/(3+x) dx

次に、残った積分 ∫ x/(3+x) dx を計算します。この積分は、簡単な置換積分を用いることで解けます。

積分 ∫ x/(3+x) dx を解くために、u = 3+x と置き換えます。これにより、dx = du となり、積分は次のように簡略化されます。

∫ x/(3+x) dx = ∫ (u-3)/u du = ∫ 1 - 3/u du

これを計算すると、以下のようになります。

∫ x/(3+x) dx = u - 3 log(u) = (3+x) - 3 log(3+x)

これらを元の部分積分の式に代入して、0から1までの範囲で積分を評価すると、最終的な答えは次のようになります。

∫[0,1] log(3+x) dx = (1 log(4) - 3 log(4)) - (0 log(3) - 3 log(3))

計算の結果、積分の値は次のようになります。

∫[0,1] log(3+x) dx = 1 log(4) - 3 log(4) + 3 log(3)

今回の問題では、log(3+x) の0から1までの積分を部分積分と置換積分を使用して解きました。対数関数の積分は少し複雑に思えるかもしれませんが、ステップごとに計算を進めることで解決できます。