ベクトル解析問題：面積分 ∬ₛ f dS の解法と解答

この問題では、与えられた関数f = x² + y²と面S: z = 2 − x² + y², x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0に基づいて面積分 ∬ₛ f dS を求める方法を解説します。ベクトル解析における面積分の計算手順をステップバイステップで理解していきましょう。

ベクトル解析の基本概念

ベクトル解析の面積分は、与えられた関数が面を通過する量を計算するために使用されます。面積分の計算には、関数fを面Sに関して積分する必要があります。面Sはz = 2 − x² + y²という方程式で与えられており、範囲はx ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0という制約があります。

問題では関数f = x² + y²が与えられ、面Sの方程式は z = 2 − x² + y² です。この式から、面の形状を理解するためにzの値を計算し、与えられた範囲内で面積を求める必要があります。また、面の範囲x ≥ 0, y ≥ 0に基づいて、積分範囲を定めます。

まず、面積要素dSを計算する必要があります。面積要素は、面の法線ベクトルの大きさと関連しており、通常は積分を行う前に法線ベクトルを計算することから始めます。面の方程式から勾配を求め、法線ベクトルを得ることができます。

面の法線ベクトルは、∇(2 − x² + y²) = (-2x, -2y, 1) です。この法線ベクトルを使って、面積要素dSを計算します。

1. 面の方程式 z = 2 − x² + y² を使って、面積要素dSを計算します。

2. 与えられた関数f = x² + y²を用い、面積分 ∬ₛ f dS を計算します。ここで、積分範囲はx, yの範囲に基づいて決定されます。

この問題では、面積分 ∬ₛ f dS を求めるために、面の方程式と法線ベクトルを使用して面積要素dSを求め、与えられた関数fを積分しました。面積分の計算には、面積要素の計算と積分範囲の設定が重要です。ベクトル解析の基本的な手法と面積分の計算手順を理解することが重要です。