関数y=(x-1)^4の凹凸についての問題で、二階導関数y´´=12(x-1)^2から、x>1および1>xで下に凸だと考えた方が多いかもしれませんが、解答では常に下に凸だとされています。では、なぜx=1の点でy´´=0であっても常に下に凸だとされるのでしょうか？
凹凸を調べるための二階導関数の意味
関数の凹凸を調べるためには、まずその関数の二階導関数を求めます。二階導関数が正ならば、その区間は下に凸、負ならば上に凸となります。したがって、y=(x-1)^4の場合、二階導関数y´´=12(x-1)^2が導かれます。
この時、y´´=12(x-1)^2は、x=1の時に0になりますが、それ以外の値では常に正の値を持つため、二階導関数は常に0以上になります。これにより、関数はx=1を含む全ての範囲で下に凸となります。
x=1でのy´´=0の解釈
x=1においてy´´=0という結果が得られますが、これは二階導関数が0になる特別な点であり、この点は「変曲点」ではなく「極小点」です。具体的には、x=1で関数のグラフは最も低い点となり、その周りは下に凸であるため、y´´が0であっても全体としては下に凸となるのです。
したがって、x=1の点で二階導関数が0となることは、必ずしも関数が「上に凸」や「変曲する」ことを意味するわけではなく、グラフは引き続き下に凸であることを示しています。
解答における常に下に凸の理由
解答で「常に下に凸」とされるのは、x=1におけるy´´=0が関数の下に凸であるという性質を示しているからです。y´´=12(x-1)^2が常に0以上で、x=1を除く全ての範囲でy´´が正であるため、この関数のグラフは全てのxの範囲で下に凸であると判断されます。
さらに、x=1ではy´´が0になり、関数の曲線が水平に近づきますが、これが最小値となり、その周りの範囲では依然として下に凸であるため、この点を含む範囲では常に下に凸であるとされています。
まとめ
y=(x-1)^4という関数の凹凸を調べる際、x=1で二階導関数が0になるため、一見すると変曲点のように感じられるかもしれませんが、実際には関数全体が下に凸であり、x=1の点は単なる最小点です。二階導関数が0であること自体が必ずしも関数の変曲を示すわけではなく、グラフ全体として下に凸であることを確認できました。
コメント