円と直線の距離の求め方の解説：問題(X-1)² + (Y-1)² = 2と直線Y = 2X - 1の場合

円(X-1)² + (Y-1)² = 2と直線Y = 2X – 1の距離を求める問題について解説します。この問題では、まず円と直線の方程式を理解し、直線と円の最短距離を計算する方法を学びます。基礎から順を追って説明しますので、安心してお読みください。

問題の概要

与えられた円の方程式は(X-1)² + (Y-1)² = 2で、直線の方程式はY = 2X – 1です。この円の中心は(1,1)、半径は√2です。一方、直線Y = 2X – 1は、傾き2、y切片-1の直線です。

直線と円の距離を求めるためには、まず直線の方程式を標準形に変形し、次に円の中心から直線への最短距離を求めます。

直線の方程式Y = 2X – 1は、Ax + By + C = 0の形に変換することができます。これを変形すると、2X – Y – 1 = 0となります。ここで、A=2、B=-1、C=-1です。

直線と円の最短距離を求めるためには、次の公式を使用します。

距離 = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

ここで、(x₀, y₀)は円の中心(1,1)、A、B、Cは直線の方程式の係数です。これを代入して計算します。

円の中心は(1,1)で、直線の方程式は2X – Y – 1 = 0です。これを公式に代入して計算すると、距離は次のようになります。

距離 = |2×1 + (-1)×1 – 1| / √(2² + (-1)²) = |2 – 1 – 1| / √(4 + 1) = |-0| / √5 = 0

したがって、円の中心と直線との最短距離は0です。これは、実際に円と直線が交わっていることを意味します。このような問題では、直線と円の接触点を求めることで最短距離を計算することができます。