このページでは、面積分やベクトル面積分の計算方法について、高校数学レベルで解説します。問題文に従って順を追って解法を説明し、計算手順を明確にします。
1. 面積分 ∬ₛ f dS の解法
面積分は、関数が定義された面に沿って、ある範囲で積分を行う方法です。まずは問題を見てみましょう。
(1) f = x + y − 3z、S: 2x + y + 3z = 6, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
この問題では、関数 f = x + y − 3z を与えられた面 S に対して面積分を行います。まず、S の方程式を z に関して解きます。
2x + y + 3z = 6 ⇒ z = (6 − 2x − y) / 3
次に、面積分を行うために、dS（面積の微小部分）の計算が必要です。dS は、面の法線ベクトルを使って計算できます。ここでは、適切な面積分の公式を使って解答に導きます。
(2) f = x² + y²、S: z = 2 − x² + y², x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
次に、f = x² + y² の場合です。面 S の方程式を z に関して解くと。
z = 2 − x² + y²
この場合も、dS の計算を行い、面積分を求めます。公式に従って、積分を行い、最終的な答えを導きます。
2. 面積分 ∬ₛ A・dS の解法
次はベクトル面積分の問題です。ベクトル面積分では、ベクトル場 A と面 S に沿った法線ベクトルの内積を求めます。
(1) A = 6z i − 4 j + y k、S: z = 2 − x/3 − y/2, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
この問題では、ベクトル場 A = 6z i − 4 j + y k を与えられた面 S に対して面積分を行います。まず、S の方程式を使って z を表現し、法線ベクトル n を求めます。その後、ベクトル場 A と法線ベクトル n の内積を取ります。この内積を面積分に組み込んで計算します。
(2) A = z i + (y + 4) j + 8x k、S: 4x + 2y + z = 4, x ≥ 0, y ≥ 0, z = 0
この問題でも同様に、A = z i + (y + 4) j + 8x k のベクトル場に対して面積分を行います。面 S の方程式を使い、法線ベクトル n を計算して、ベクトル場 A と n の内積を取って面積分を解きます。
まとめ
面積分やベクトル面積分は、高校数学における重要なトピックであり、実際には関数の積分を行う際に非常に有効な方法です。今回解説したように、各問題に対して適切な手順を踏んで計算を行うことが大切です。面積分の理解を深めることで、より複雑な問題にも対応できるようになります。
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