関数 f(x)=x^2 の区間0≦x≦1/2に対応する部分の長さの求め方

関数 f(x) = x^2 のグラフ上の区間0≦x≦1/2に対応する部分の長さを求める問題です。これは積分を使って求める問題で、積分を使って曲線の長さを計算する方法を解説します。

曲線の長さの公式

まず、曲線の長さを求めるためには次の公式を使います。

L = ∫[a, b] √(1 + (f'(x))^2) dx

ここで、aとbは区間の範囲、f(x)は与えられた関数、f'(x)はその微分です。この公式を使って、関数 f(x) = x^2 の場合の曲線の長さを求めます。

次に、関数 f(x) = x^2 を微分して f'(x) を求めます。

f'(x) = 2x

したがって、(f'(x))^2 = (2x)^2 = 4x^2 となります。

曲線の長さを求める公式に当てはめると、次のようになります。

L = ∫[0, 1/2] √(1 + 4x^2) dx

この積分を計算することで、区間0≦x≦1/2に対応する部分の長さを求めることができます。

この積分は手計算で解くのは少し複雑ですが、一般的には数値的に計算します。具体的には、数値積分を用いるか、定積分を計算して求めます。

最終的な答えは、この積分の結果として得られる長さとなります。具体的な値を求めるには、数値計算が必要ですが、基本的な解法はこのようになります。

関数 f(x) = x^2 の区間0≦x≦1/2に対応する部分の長さを求めるためには、積分を用いて曲線の長さを計算します。公式に従い、f(x) の微分を求め、積分を実行することで、問題を解決することができます。