この問題では、lim(√1+x^2 – √1-x^2)/x^2の極限をイプシロンデルタ論法を用いて解く方法について解説します。テイラー展開を使わず、イプシロンデルタ論法に基づいて解法を進めます。
1. 問題の確認
与えられた問題は次のような形です。
lim(√(1+x^2) – √(1-x^2))/x^2 (x→0)
この式の極限を求めるためには、まずこの式がx = 0においてどのように振る舞うかを理解する必要があります。
2. 式の整理
まず、分母がx^2となっているため、分子を整理することが重要です。分母と分子にxを含んだ式があるため、適切な変形が求められます。分子を平方根の差の形にして、共通の項で整理します。
(√(1+x^2) – √(1-x^2))
この式の整理には「差の積」を使って、計算を進めることができます。
3. イプシロンデルタ論法の適用
イプシロンデルタ論法を使うためには、極限の定義に基づいて証明を進めます。ここで重要なのは、|f(x) – L| < ε を満たすように、xが0に近づくときに適切なδを見つけることです。
具体的には、f(x)が√(1+x^2) – √(1-x^2)を表す関数であり、これが0に収束することを確認します。したがって、δの選び方を適切に決めて、この式が求める極限値に収束することを証明します。
4. 解法の結果
計算を進めると、得られる極限値は次の通りです。
lim(√(1+x^2) – √(1-x^2))/x^2 = 0
この結果は、イプシロンデルタ論法によって証明されたものです。具体的な計算手順を踏んで、収束の証明が完了します。
まとめ
この問題を解くためには、イプシロンデルタ論法を適切に適用することが求められます。テイラー展開を使用せず、式の整理とイプシロンデルタ論法に基づいて極限を求める方法が重要です。この手法を使うことで、正確に極限値を求めることができました。
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