放物線 y = x^2 + 2x + 3 の平行移動と折り返しの方法

放物線 y = x^2 + 2x + 3 のグラフを、x軸方向に4だけ平行移動し、さらに直線 y = 5 に関して折り返す操作を行った後の新しい放物線の方程式を求める方法を解説します。具体的な手順を順を追って説明しますので、しっかりと理解できるように進めていきましょう。

1. 放物線 y = x^2 + 2x + 3 の平行移動

最初に、与えられた放物線 y = x^2 + 2x + 3 を x 軸方向に 4 だけ平行移動します。平行移動は、x の値を変えることで実現できます。

x 軸方向に 4 だけ平行移動する場合、x の値を (x – 4) に変更します。したがって、放物線の方程式は次のように変わります。

y = (x – 4)^2 + 2(x – 4) + 3

この式を展開して整理すると。

y = (x^2 – 8x + 16) + 2x – 8 + 3 = x^2 – 6x + 11

したがって、平行移動後の放物線の方程式は、y = x^2 – 6x + 11 になります。

2. 直線 y = 5 に関して折り返し

次に、直線 y = 5 に関して折り返しを行います。折り返しの操作は、対象となる点と直線との距離を使って新しい位置を計算することです。

y = 5 に関して折り返す場合、任意の点 (x, y) に対して、その点の y 座標の差を求め、直線 y = 5 から対称な位置を取ることで、新しい y 座標を求めます。

y = x^2 – 6x + 11 の場合、y 座標を直線 y = 5 に対して折り返すと、新しい y 座標は次のように計算されます。

新しい y = 5 – (y – 5) = 10 – (x^2 – 6x + 11) = 10 – x^2 + 6x – 11 = -x^2 + 6x – 1

3. 最終的な放物線の方程式

よって、x軸方向に4だけ平行移動し、次に直線 y = 5 に関して折り返した後の放物線の方程式は、最終的に次のようになります。

y = -x^2 + 6x – 1

まとめ

放物線 y = x^2 + 2x + 3 を x 軸方向に 4 だけ平行移動し、直線 y = 5 に関して折り返すことで得られる放物線の方程式は y = -x^2 + 6x – 1 になります。これを理解することで、平行移動や折り返しの概念が数学的にどのように扱われるかをしっかりと掴むことができます。