なぜ 1/K(K+1) が 1/K - 1/(K+1) になるのか？その理由と解説

数学において、式の変形や因数分解はよく見られる操作ですが、「1/K(K+1) が 1/K – 1/(K+1) になるのはなぜか？」という疑問に関しては、特定の数学的な手順に従うことで説明できます。この記事では、その変形の理由をわかりやすく解説します。

式の形を理解する

まず、式 1/K(K+1) を見ると、K と K+1 の積の分母にある分数であることがわかります。この式を 1/K – 1/(K+1) の形に変形するには、分数の引き算を使って分母を統一する必要があります。

分数の引き算は、分母を共通にすることで可能になります。そのため、まずは 1/K と 1/(K+1) の分母を揃える作業を行います。

1/K – 1/(K+1) を計算するためには、分母を共通にする必要があります。共通の分母を得るために、最初の分数に (K+1)/(K+1) を掛け、次の分数に K/K を掛けます。これにより、次のように式が変わります。

1/K – 1/(K+1) = (1 * (K+1))/[K * (K+1)] – (1 * K)/[K * (K+1)]

このようにして、分母を共通にした形で計算が可能になります。

共通の分母が得られたので、次に分子同士を引き算します。結果として、次の式が得られます。

1/K – 1/(K+1) = (K – K – 1) / [K * (K+1)] = 1/[K * (K+1)]

これにより、1/K(K+1) の形が 1/K – 1/(K+1) に等しいことが証明されます。

式 1/K(K+1) を 1/K – 1/(K+1) に変形する過程は、分数の引き算を利用し、分母を共通にすることで簡単に理解できます。この手順を踏むことで、異なる形の式が等しいことが確認でき、数学的な操作に自信を持つことができます。