最大値と最小値の求め方と定義域の重要性について

数学の問題で「最大値」「最小値」を求める際に重要となるのが「定義域」です。この解説では、定義域における不等号の有無が、なぜ最大値や最小値の存在に影響を与えるのか、そして与えられた式の最大値・最小値をどのように求めるかを詳しく説明します。

最大値と最小値が存在する条件
「＝」がついていると最大値最小値が出てくる理由
「＝なし」の場合は最大値最小値が存在しないのか？
まとめ

最大値と最小値が存在する条件

まず、関数の最大値や最小値が存在するためには、その関数が定義域全体において連続している必要があります。連続関数の場合、定義域の端点や内部で最大値または最小値を取ることが保証されています。

具体的に「y = 3x^2 – 4（-2≦x≦2）」のような式で最大値や最小値を求める場合、xの範囲が-2から2までと明示されているため、閉区間における最適な値が求まります。これには、端点や内部で関数がどのように変化するかを調べることが必要です。

「＝」がついていると最大値最小値が出てくる理由

定義域に「＝」が含まれている場合、その範囲に端点が含まれます。たとえば、「-2≦x≦2」という場合、x = -2やx = 2を含む区間が定義域です。これにより、端点でも最大値や最小値が存在する可能性があります。

したがって、閉じた区間（端点を含む）での関数では、関数の値が最も大きい点や小さい点が明確に決まることが保証されるため、最大値と最小値は必ず存在します。

「＝なし」の場合は最大値最小値が存在しないのか？

定義域に「＝」がついていない場合、関数の最大値や最小値は必ずしも存在しないわけではありません。ただし、端点が含まれない開区間（例えば、「-2 < x < 2」）では、最大値や最小値が存在するとは限りません。開区間の場合、関数がその端点において収束することなく続く場合があり、限界的に値を最大化したり最小化することはできません。

そのため、開区間では「最大値」や「最小値」が必ずしも存在するわけではなく、極限を取る必要がある場合もあります。