2次関数の決定と連立方程式を使った解法について

2次関数の決定を行う問題は、3点を通る関数を求める問題でよく出題されます。ここでは、y = ax^2 + bx + c の形をした2次関数を、与えられた3点を通るように求める方法を解説します。特に、連立方程式を使って解く方法について詳しく説明します。

問題の理解

質問では、3つの点 (−1, −3), (1, 1), (2, 0) を通る2次関数を求める問題です。この関数の形は、y = ax^2 + bx + c です。まず、この式に3つの点を代入して、a、b、cを求めるための連立方程式を立てます。

ステップ1: 3つの点を代入する

与えられた3点 (−1, −3), (1, 1), (2, 0) をy = ax^2 + bx + c に代入します。それぞれの点について、xとyの値を代入して式を作成します。

• 点 (−1, −3) を代入すると、−3 = a(−1)^2 + b(−1) + c → −3 = a − b + c
• 点 (1, 1) を代入すると、1 = a(1)^2 + b(1) + c → 1 = a + b + c
• 点 (2, 0) を代入すると、0 = a(2)^2 + b(2) + c → 0 = 4a + 2b + c

これで、次の3つの連立方程式が得られます。

• −3 = a − b + c
• 1 = a + b + c
• 0 = 4a + 2b + c

ステップ2: 連立方程式を解く

これらの連立方程式を解いて、a、b、cの値を求めます。まず、式1と式2を引き算してbとcを消去します。

• 式2 − 式1: (a + b + c) − (a − b + c) = 1 − (−3) → 2b = 4 → b = 2

次に、b = 2 を式2に代入してaとcを求めます。

• 式2: 1 = a + b + c → 1 = a + 2 + c → a + c = −1
• 式3: 0 = 4a + 2b + c → 0 = 4a + 4 + c → 4a + c = −4

式1と式3を連立させて解くと、a = −2、c = 1 となります。

ステップ3: 解を確認する

これで、a = −2, b = 2, c = 1 という値が得られました。最終的な2次関数の式は、y = −2x^2 + 2x + 1 です。これが、3点 (−1, −3), (1, 1), (2, 0) を通る2次関数の解となります。

まとめ

2次関数の決定において、3点を通る関数を求める方法は、与えられた点をy = ax^2 + bx + cに代入して連立方程式を解くことで解決できます。各点を代入することで得られる連立方程式を解くと、a、b、cの値が求められ、最終的に2次関数の式が導き出されます。この方法を使えば、どんな点でも2次関数を求めることができます。