f(f(x)) = ax + b の形から分かるf(x)の性質とは？

今回の問題は、f:R→Rが狭義単調増加であり、f(f(x)) = ax + b（a, bは定数）という形の関数に関するものです。問題の内容は、この式が成り立つとき、f(x)が一次関数であるかどうかを求めるというものです。

1. 狭義単調増加関数とは

まず、f(x)が「狭義単調増加」とはどういう意味かを理解する必要があります。狭義単調増加とは、xの値が増加すると、f(x)も増加する関数です。すなわち、x₁ < x₂ のとき、f(x₁) < f(x₂) となります。これは関数が連続的に増加していることを示します。

これが意味するのは、f(x)のグラフが常に上に向かって増加しているということです。

次に、与えられた式 f(f(x)) = ax + b を考えます。この式は、f(f(x))の結果が一次関数の形 ax + b になることを示しています。ここで、f(x)が一次関数でないとすると、f(f(x))も一次関数にはならないはずです。

したがって、f(x)は一次関数であることが予想されます。次に、具体的にf(x)の形を導く方法について考えます。

f(x)が一次関数であることを示すためには、f(x)がxに関して一次関数の形式を持つ必要があります。f(x)が一次関数であると仮定すると、f(x) = px + q の形になります。

これを元の式 f(f(x)) = ax + b に代入すると、f(f(x)) = a(px + q) + b という形になります。これを整理すると、最終的に一次関数の形式が一致することがわかります。

したがって、f(f(x)) = ax + b の形になるためには、f(x)は一次関数でなければならないことが確認できます。具体的には、f(x) = px + q の形が成立するため、f(x)は一次関数であると言えます。

今回の問題において、f(f(x)) = ax + b という式から、f(x)が一次関数であることを証明することができました。関数の性質を理解し、適切な手順で式を整理することで、この問題を解くことができます。