この問題では、群 G と集合 X に関する作用の問題を取り扱っています。特に、群 G が集合 X に推移的に作用し、H が G の有限指数の部分群である場合に、写像 φ が全射であることを証明する問題です。これから、φ: H\G → H\X を φ(Hg) = Hgx と定義し、φ が全射であることを示します。
1. 問題設定の理解
群 G が集合 X に推移的に作用しているとは、任意の x, y ∈ X に対して、g ∈ G が存在して g·x = y を満たすことを意味します。また、H は G の部分群で、H の左右剰余類が G の有限個の剰余類を形成する、すなわち H が G の有限指数を持つ部分群です。
2. φ の定義と目標
ここで定義された φ: H\G → H\X は、φ(Hg) = Hgx という形で定義されています。この定義を基にして、φ が全射であることを証明します。すなわち、H\X の任意の元が φ の像として得られることを示します。
3. φ が全射であるための証明
まず、φ の定義に基づき、任意の x’ ∈ H\X に対して、x’ = Hgx の形になります。すると、x’ = φ(Hg) となることが確認できます。すなわち、任意の H\X の元は、φ の像として得られます。このことから、φ は全射であることが分かります。
4. 結論
以上により、群 G が集合 X に推移的に作用し、H が G の有限指数を持つ部分群であるとき、φ: H\G → H\X が全射であることが証明されました。この証明を通じて、群の作用と部分群の性質に関する深い理解が得られました。
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