3階定数係数線形常微分方程式の定数変化法による解法

今回は、3階定数係数線形常微分方程式、y”’ + ay” + by’ + cy = q(x)を定数変化法を用いて解く方法を解説します。2階の場合と同様に、定数変化法を使って一般解を求める手順を追っていきます。

1. 3階常微分方程式の一般形

問題は以下のような3階の定数係数線形常微分方程式です。

y”’ + ay” + by’ + cy = q(x)

ここで、a、b、cは定数、q(x)は与えられた関数です。この式の解法では、まず同次方程式の解を求め、その後非同次方程式の解を求めます。

まず、同次方程式を解きます。同次方程式は、右辺が0の以下の形になります。

y”’ + ay” + by’ + cy = 0

この式に対する特性方程式を求めます。特性方程式は、rの3次方程式で、次のように表されます。

r^3 + ar^2 + br + c = 0

この方程式の解を求めます。解の形に応じて、異なる解法（実数解、重解、複素解）を使います。

次に、非同次方程式の解を求めます。定数変化法を使用すると、特解は次のように仮定します。

y_p = u(x)y_1 + v(x)y_2 + w(x)y_3

ここで、y_1、y_2、y_3は同次方程式の解です。u(x)、v(x)、w(x)は変化する定数です。この関数を微分し、与えられた非同次項q(x)に合わせて係数を求めます。

最終的に、同次方程式の一般解と非同次方程式の特解を合わせて、全体の解y(x)を求めます。この解が、元の方程式の解として成り立ちます。

今回の解法では、定数変化法を利用して、微分方程式を段階的に解く方法を説明しました。問題が解けない場合でも、手順をしっかり踏んで進めることで解を見つけやすくなります。

この問題では、3階定数係数線形常微分方程式を定数変化法で解く方法を解説しました。まず同次方程式を解き、次に非同次項に対する特解を求めました。定数変化法を用いることで、解の構造を整理して、求めるべき解を求めることができます。