多項式の連続性の証明 | x=0 での連続性の確認方法

多項式がx=0で連続するかを確認する問題は、数学的な解析において基本的な考え方を身につける上で重要です。この問題では、連続性の定義に基づき、ε-δ論法を使用して証明する方法が求められます。この記事では、この問題における解法の手順をわかりやすく解説します。

問題の理解と定義

多項式f(x)がx=0で連続かどうかを確かめるためには、連続性の定義に従って証明を進める必要があります。連続性とは、任意のε>0に対して、δ>0を見つけ、|x|<δの範囲で|f(x) - f(0)|<εが成り立つことです。この証明を行うためには、まずf(x)の具体的な形を明確にし、次にε-δの関係を設定して計算を行います。

解法のステップ

問題文の多項式は、f(x) = a_nxⁿ + a_(n-1)xⁿ⁻¹ + … + a_1x + a_0の形です。これをx=0の周りで連続であるかどうかを調べるためには、ε>0に対してδ>0を適切に選び、|f(x) – f(0)|がεより小さくなるようにします。具体的には、|f(x) – f(0)| = |a_nxⁿ + a_(n-1)xⁿ⁻¹ + … + a_1x|となり、この値が任意のεより小さくなるように証明します。

δの選び方と計算

δを設定する際に重要なのは、各項の係数とxの累乗がεの範囲に収束することです。ここでは、δ = min{√ε/|a_n|, √ε/|a_(n-1)|, …, ε/|a_1|}などと定義して、各項の変化がε以下になるようにします。こうすることで、最終的に|f(x) – f(0)|がεより小さくなり、x=0で連続であることが示されます。

作業の意図と数学的背景

この問題では、ε-δ論法を用いることで、連続性を具体的に証明する方法を学びます。数学的には、無限小の範囲での振る舞いを解析することで、関数の連続性を判断することができます。試験の問題作成者がこの方法を用いた理由は、単に計算力を問うだけでなく、連続性の概念を理解し、論理的に証明する力を養うためです。

まとめ

多項式f(x)がx=0で連続であることを証明するためには、ε-δ論法を用いて、任意のεに対して適切なδを選ぶ必要があります。この証明過程を通じて、関数の連続性を厳密に理解することができます。今後、数学的な証明を進める上で、連続性の定義をしっかりと把握しておくことが大切です。