数学における環準同型と加群の関係は、代数的構造を理解する上で非常に重要なテーマです。本記事では、φ: R → S が環準同型であり、f₁, …, fₙ ∈ R がRの単位イデアルを生成する元のとき、各iについてS_φ(f_i)が有限生成R_f_i加群であれば、Sが有限生成R加群になることの証明を示します。
環準同型と局所化の基礎
まず、環準同型φ: R → Sが何であるかを確認しましょう。環準同型は、二つの環が構造を保ちながら対応する関数です。RからSへの準同型で、φ(f) ∈ SがRの元fに対応します。
局所化とは、ある元に対してその逆元を導入する操作で、加群の性質を深く理解するために用いられます。ここで述べているR_f_i加群は、f_iによって局所化されたRの加群を意味し、同様にS_φ(f_i)はSのφ(f_i)によって局所化された加群です。
問題の設定と定理の目的
問題の設定は、Rの単位イデアルを生成する元f₁, …, fₙについて、各iでS_φ(f_i)が有限生成R_f_i加群である場合に、Sが有限生成R加群であることを証明することです。具体的には、Sが有限生成のR加群であるためには、Sの生成元がRにおける有限個の元で表現できる必要があります。
この結果を証明するためには、R_f_i加群の性質を利用して、S全体の構造に対する推論を行うことが重要です。
有限生成加群の性質を利用した証明
各S_φ(f_i)が有限生成R_f_i加群であるという仮定を利用して、Sが有限生成R加群であることを示すためには、まずR_f_i加群がどのように構成されているかを理解することが重要です。R_f_i加群の構造を利用することで、Sの生成元を有限個で表現する方法を見つけます。
次に、各S_φ(f_i)が有限生成であるならば、それらの加群を取り囲む有限生成の集合を構成し、その集合がS全体を生成することを示します。この構造を正しく組み立てることで、最終的にSがR加群として有限生成であることが分かります。
具体的なステップと計算の進行
証明の具体的なステップは以下のようになります。まず、各f_iに対応する局所化された加群S_φ(f_i)が有限生成であることを前提に、これらの加群がSにどのように組み込まれていくかを計算します。次に、その加群の生成元を組み合わせて、Sの生成元をRの元で表現します。
この計算過程では、局所化された加群の性質を駆使して、Sの生成元が有限個のRの元から成り立つことを証明します。
まとめ
φ: R → Sが環準同型で、各f_iがRの単位イデアルを生成する元であり、各iについてS_φ(f_i)が有限生成R_f_i加群であれば、Sが有限生成R加群であることが証明されました。この結果は、局所化と加群の構造を理解するための重要な手法を提供し、代数的な性質を明確にするものです。証明における各ステップを追うことで、R加群としての有限生成性を確立できました。
コメント